Question

13．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于D，E两点，且cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则S_△ADE：S_{四边形DBCE}的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 连接BE，由∠A得余弦值可得到AE、AB的比例关系；易证得△ADE∽△ACB，那么AE、AB的比即为两个三角形的相似比，进而可求出两个三角形的面积比，也就能求出△ADE、四边形BDEC的面积比．

解答 解：连接BE；
∵BC是⊙O的直径
∴∠BEC=90°；
在Rt△ABE中，cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵四边形BEDC内接于⊙O，
∴∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{AE}{AB}）^{2}$=$\frac{1}{3}$；
所以S_△ADE：S_{四边形DBCE}的值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了圆内接四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，能够将∠A的余弦值转换为△ADE、△ACB的相似比，是解决此题的关键．