Question

6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），对称轴为直线x=1，对称轴交x轴于点E．
（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；
（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；
（3）联结BD，设点P在线段BD上，若△EBP与△ABD相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等的亮点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行线的一次项的系数相等，可得EF的解析式，根据解方程组，可得答案；
（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得PB的长，根据勾股定理，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

解答 解：（1）由A、B关于x=1对称，得B（3，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c （a≠0），将A、B、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2，顶点坐标为D（1，$\frac{8}{3}$）；
（2）①当AE∥DF时，不存在，舍去；
②当AD∥EF时，AD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
EF的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}}\\{y=\frac{4\sqrt{5-4}}{3}}\end{array}\right.$，
F点坐标为（$\sqrt{5}$，$\frac{4\sqrt{5}-4}{3}$），
（3）∠PBE=∠DBA，如图：

BD的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，P在BD上，设P（m，-$\frac{4}{3}$m+4）
DB=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{10}{3}$，BA=3-（-1）=4，BE=3-1=2．
①当△PBE∽△DBA时，$\frac{PB}{DB}$=$\frac{BE}{BA}$，
即$\frac{PB}{\frac{10}{3}}$=$\frac{2}{4}$，解得BP=$\frac{5}{3}$，
（3-m）²+（$\frac{4}{3}$m-4）²=$\frac{25}{9}$，
解得m=2，m=4（不符合题意，舍），
当m=2时，-$\frac{4}{3}$m+4=$\frac{4}{3}$，
P₁（2，$\frac{4}{3}$）；
②当△EBP∽△DBA时，
$\frac{EB}{DB}$=$\frac{BP}{BA}$，
即$\frac{2}{\frac{10}{3}}$=$\frac{BP}{4}$，
解得BP=$\frac{12}{5}$，
（3-m）²+（$\frac{4}{3}$m-4）²=$\frac{144}{25}$，
解得m=$\frac{39}{25}$，m=$\frac{111}{25}$（不符合题意，舍），
当m=$\frac{39}{25}$时，-$\frac{4}{3}$m+4=$\frac{48}{25}$，
P₂（$\frac{39}{25}$，$\frac{48}{25}$），
综上所述：P点坐标为P₁（2，$\frac{4}{3}$），P₂（$\frac{39}{25}$，$\frac{48}{25}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；利用平行线的一次项的系数相等得出EF的解析式是解题关键；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出PB的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．