Question

已知抛物线y₁=x²+2ax+b经过点A（2，4），顶点D在直线y₂=2x+1上．
（1）求a、b的值．
（2）求证：不论x取何值，函数的值y₁均不小于3．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）先把A点坐标）代入y₁=x²+2ax+b得b=-4a，则把抛物线解析式配成顶点式得到D坐标为（-a，-a²-4a），然后把D（-a，-a²-4a）代入y₂=2x+1可计算出a的值，从而可得到b的值；
（2）当a=-1时可得到y₁=（x-1）²+3，然后根据二次函数的性质可证明不论x取何值，函数的值y₁均不小于3．

解答：（1）解：把点A（2，4）代入y₁=x²+2ax+b得4+4a+b=4，解得b=-4a，
所以y₁=x²+2ax+b=x²+2ax-4a=（x+a）²-a²-4a，
则抛物线顶点D坐标为（-a，-a²-4a），
把D（-a，-a²-4a）代入y₂=2x+1得-2a+1=-a²-4a，
整理得a²+2a+1=0，解得a=-1，
所以b=-4×（-1）=4，
即a，b的值分别为-1，4；
（2）证明：∵y₁=（x+a）²-a²-4a=（x-1）²+3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴函数有最小值3，即不论x取何值，函数的值y₁均不小于3．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．