Question

    如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1) 为圆心，2 为半径作圆，交轴于A，B 两点，点 P在 ⊙C上．

(1) 求出A，B 两点的坐标；

(2) 试确定经过 A、 B两点且以点 P为顶点的抛物线解析式；

(3) 在该抛物线上是否存在一点D，使线段 OP与CD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 解：(1) 做CH⊥x轴，H 为垂足，连接CB-----------1分

∵CH=1，半径CB=2

∴HB=-------------------------------------2分

故-----------------------3分

(2) 由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P 的坐标为

(1，3) 或(1，-1)---------------------------------4分

情况一：设抛物线表达式y=a(x-1)²+3，

把点 代入上式，解得a=-1．

∴  y=-x²+2x+2-----------------------------------5分

情况二：设抛物线解析式y=a(x-1)²-1，

把点 代入上式，解得，

------------------------------6分

(3) 假设存在点D 使线段OP 与CD 互相平分，

则四边形OCPD 是平行四边形-

∴PC∥OD且PC=OD

∵PC∥Y轴

∴点D在Y轴上．

又PC=2，

∴OD=2，即D(0，2) 或(0，-2) -

(0，2) 满足y=-x²+2x+2

(0,-2) 不满足任何一条抛物线的解析式，

 ∴ 点D(0，2) 在抛物线上．

所以存在D(0，2) 使线段OP 与CD 互相平分