题目内容
（1）分解因式：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3；
（2）由上式猜想此式1+a+a（1+a）2+a（1+a）3+…+a（1+a）2006分解因式的最后结果是什么？
（2）由上式猜想此式1+a+a（1+a）2+a（1+a）3+…+a（1+a）2006分解因式的最后结果是什么？
考点：因式分解-提公因式法
专题：规律型
分析：（1）分别利用提取公因式法分解因式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，进而得出变化规律，进而得出答案．
（2）利用（1）中所求，进而得出变化规律，进而得出答案．
解答：解：（1）∵1+a+a（1+a）=（1+a）（1+a）=（1+a）2；
1+a+a（1+a）+a（1+a）2
=（1+a）[1+a+a（1+a）]
=（1+a）3，
∴1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3=（1+a）4；
（2）由（1）得：1+a+a（1+a）2+a（1+a）3+…+a（1+a）n=（1+a）n+1，
故1+a+a（1+a）2+a（1+a）3+…+a（1+a）2006=（1+a）2007．
1+a+a（1+a）+a（1+a）2
=（1+a）[1+a+a（1+a）]
=（1+a）3，
∴1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3=（1+a）4；
（2）由（1）得：1+a+a（1+a）2+a（1+a）3+…+a（1+a）n=（1+a）n+1，
故1+a+a（1+a）2+a（1+a）3+…+a（1+a）2006=（1+a）2007．
点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，注意总结规律是解题关键．
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