题目内容
【题目】已知
组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
【答案】（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.
【解析】
（1）根据题意可知，这n组正整数符合规律m2-1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数）．分三种情况：m2-1=71；2m=71；m2+1=71；进行讨论即可求解；
（2）由于（m2-1）2+（2m）2=m4+2m2+1=（m2+1）2，根据勾股定理的逆定理即可求解．
（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
理由如下：
根据题意可知，这
组正整数符合规律
，
，
（
，且
为整数）．
若
，则
，此时不符合题意；
若
，则
，此时不符合题意；
若
，则
，此时不符合题意，
所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
理由如下：
对于一组数：，，（，且为整数）．
因为
所以若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形．
因为当，且为整数时，表示任意一个大于2的偶数，，均为正整数，
所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
