Question

【题目】在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上．

（1）若点，求点的坐标；

（2）连接，若点，，求的长；

（3）过点作轴于点，且交直线于点．若，，，当时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点的坐标是；（2）；（3）．

【解析】

（1）把点C的坐标代入直线y=x求得a的值；
（2）如图1，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，构造直角△BEC，利用勾股定理求得BE的长度，然后由BE=BO-OE列出关于t的方程，通过解方程得到答案；
（3）点D的坐标为（m，m），AM=n．推知Rt△OMD是等腰直角三角形，故DM=AM-AD，即m=n-
①如图2，当点C在点D左侧时，过点B，点C分别作BE⊥AM，CF⊥AM，垂足分别为点E，点F，构造全等三角形：△ABE≌△CAF．结合该全等三角形的性质知DF=BE-AD=m-．在Rt△DCF中，利用勾股定理求得CD= =，根据题意列出不等式并解答；
②如图3，当点C在点D右侧时，同理可求，DF=m+，CD=m+2，由1≤CD≤2，得到不等式并解答．

（1）把代入，得

，

解得．

所以点的坐标是．

（2）点在直线上，不妨设点的坐标为．

如图1，过点作轴，垂足为点，

∴在中，，，

∴．

又∵，

∴，

∴在中，，

∴，

∴．

又∵，且点，

∴，

解得．

∴．

（3）∵，，且，

∴点在直线上方．

∵轴于点，

且交直线于点，，

∴点的坐标为，．

∴在中，，，

∴，

∵，，

∴，即．

如图2，当点在点左侧时，

过点，点分别作，，垂足分别为点，点，

∴，，．

∵，

∴，．

∵中，，

∴．

又∵，

∴．

∴．

∵，且，

∴．

在中，，

∴，

∴

．

∵，即，

∴．

如图3，当点在点右侧时，

同理可求，，，

由，

求得，不符合题意．

综上，．