Question

4．在Rt△ABC中，∠C是直角，M是AB中点，I是内心，若BI⊥IM，求BC：AC．

Answer 1

分析 延长MI角BC于N，作MH⊥BC于H，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，如图，设BC=a，AC=b，⊙I的半径为r，根据三角形内切圆的性质和内心的性质得IE=ID=r，IB平分∠MBN，而BI⊥IM，则可判断△AMN为等腰三角形，则可利用面积法得到MH=IE+ID=2r，再证明MH为△ABC的中位线得到MH=$\frac{1}{2}$b，根据直角三角形的内切圆半径与三边的关系得r=$\frac{a+b-AB}{2}$，即a+b-AB=$\frac{1}{2}$b，于是得到AB=a+$\frac{1}{2}$b，然后利用勾股定理得到（a+$\frac{1}{2}$b）²=a²+b²，再整理即可得到a与b的值．

解答 解：延长MI角BC于N，作MH⊥BC于H，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，如图，
设BC=a，AC=b，⊙I的半径为r，
∵I是内心，
∴IE=ID=r，IB平分∠MBN，
∵BI⊥IM，
∴△AMN为等腰三角形，
∴MH=IE+ID=2r，
∵M是AB中点，
∴MH为△ABC的中位线，
∴MH=$\frac{1}{2}$b，
而r=$\frac{a+b-AB}{2}$，
∴a+b-AB=$\frac{1}{2}$b，
∴AB=a+$\frac{1}{2}$b，
∵AB²=a²+b²，
∴（a+$\frac{1}{2}$b）²=a²+b²，
整理得4a-3b=0，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{4}$，
即BC：AC=3：4．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角三角形的内切圆半径与三边的关系（r=$\frac{a+b-c}{2}$，a、b为直角边，c为斜边）．