Question

【题目】如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，以为直径作，点为线段上一动点(与点O、A不重合)，作于，连结并延长交于点．

（1）求点的坐标和的值；

（2）设．

①当时，求的值及点的坐标；

②求关于的函数表达式．

（3）如图2，连接，当点在线段上运动时，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；=；（2）①，点的坐标为；②；（3）．

【解析】

（1）令x=0求出y值可得B点坐标，令y=0求出x值可得A点坐标；根据A、B坐标可知OA、OB的长，根据正切的定义即可得的值；

（2）①由x=1可得点C与点M重合，如图1，连接，作于，设，则，由垂径定理可得PA=PB，利用勾股定理可求出a值，根据正切的定义即可得出y值，可得PA的长，由AB是直径可知，可得，即可求出AD、PD的长，利用面积法及勾股定理即可求出DH、PH的长，进而可得点D坐标；

②如图2，作交轴于点，可得，可求出OE=2，根据平行线分线段成比例定理可得，可用x表示出OP的长，根据正切的定义即可得出y与x的关系式；

（3）如图3，连接，由可证明，根据相似三角形的性质可得，即可证明，可得，进而可证明，根据相似三角形的性质可得，设，则，即可用t表示出，根据二次函数的性质即可求出的最大值．

（1）∵，

∴当时，，当时，，

∴，

∴OA=8，OB=4，

∵，

∴．

（2）①当时，，

∴，即点与重合，

如图1，连接，作于，设，则，

在中，，

解得，

，

是的直径，

∴

∴，

设PD=x，则AD=x，

∴x2+(x)2=52，

解得：x=3，（负值舍去）即PD=3，

∴AD=x=4，

，，

，

∵点D在第四象限，

∴点的坐标为

②如图2，作交轴于点；

，

即

关于的函数表达式为

（3）如图3，连接，

∵OA=8，OB=4，

∴AB=，

∵

，即，

，

，

，

，

设，则，

∴，

当时，的最大值为．