Question

【题目】已知，如图，△ABC是等边三角形．

（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．

①求∠AED的度数；

②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）．

（2）如图2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交DB的延长线于点E，连接CE．

①依题意补全图2；

②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）①45°，②；（2）①见解析，②，证明见解析

【解析】

（1）①证明∠AED＝∠D＝15°，∠BAE＝30°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．

②结论：．作CK⊥BC交BD于K，连接CD．证明BE＝EK，DK＝AE即可解决问题．

（2）①根据要求画出图形即可．

②结论：．过点A作AF⊥AE，交ED的延长线于点F（如图3），利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．

（1）解：①如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠BAC＝30°，

由旋转可知：AD＝AC，∠CAD＝90°．

∴AB＝AD，∠BAD＝150°，

∴∠ABD＝∠D＝15°，

∴∠AED＝∠ABD+∠BAE＝45°．

②结论：．

理由：作CK⊥BC交BD于K，连接CD．

∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△AEB≌△AEC（SAS），

∴BE＝EC，∠AEB＝∠AEC＝135°，

∴∠BEC＝90°，

∴∠EBC＝∠ECB＝45°，

∵∠BCK＝90°，

∴∠CKB＝∠CBE＝45°，

∴CB＝CE，

∵CE⊥BK，

∴BE＝EK，

∵∠ADC＝45°，∠ADB＝15°，

∴∠CDK＝∠CAE＝30°，

∵∠CKD＝∠AEC＝135°，

∴△CDK∽△CAE，

∴＝＝，

∴DK＝AE，

∴BD＝BK+DK＝2BE+AE．

（2）解：①图形如图2所示：

②结论：．

理由：过点A作AF⊥AE，交ED的延长线于点F（如图3）．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠1＝∠BAC＝30°，

由旋转可知：AD＝AC，∠CAD＝90°，

∴AB＝AD，∠2＝∠CAD﹣∠BAC＝30°，

∴∠3＝∠4＝75°，

∴∠5＝∠4﹣∠1＝45°，

∵AF⊥AE，

∴∠F＝45°＝∠5，

∴AF＝AE，

∴EF＝AE，

∵∠6＝∠EAF﹣∠1﹣∠2＝30°，

∴∠6＝∠1＝30°，

又∵∠F＝∠5＝45°，AD＝AB，

∴△ADF≌△ABE（SAS），

∴DF＝BE，

∵AB＝AC，AE平分∠BAC，

∴AE垂直平分BC，

∴CE＝BE，

∵BD＝EF﹣DF﹣BE，

∴BD＝AE﹣2CE．