Question

如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；

②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；

（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．

【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，CD=BE，

∵DC+CE=DE，

∴AD+BE=DE．

（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ECB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB+∠ACE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=EC﹣CD=AD﹣BE．

【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．