题目内容
【题目】两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）当点C落在边EF上时，x= cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．
【答案】（1）15；（2）
；（3）
．
【解析】
（1）由锐角三角函数，得到BG的长，进而可得GE的长，由矩形的性质，可得答案；
（2）分类讨论：①当0≤t＜6时，根据三角形的面积公式，可得答案；②当6≤t＜12时，③当12＜t≤15时，根据面积的和差，可得答案；
（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得M在线段NG上，根据三角形的中位线，可得NG的长，根据锐角三角函数，可得MG的长，根据线段的和差，可得答案．
解：（1）如图1所示：作CG⊥AB于G点．
，
在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得：BC=
=
．在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=9．四边形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答案为15；
（2）①当0≤x＜6时，如图2所示．
，
∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得：DG=
，BG=
，重叠部分的面积为y=
DGBG=××=
；
②当6≤x＜12时，如图3所示．
，
BD=x，DG=，BG=，BE=x﹣6，EH=
．重叠部分的面积为y=
=DGBG﹣BEEH，即y=××﹣
，化简，得
；
③当12＜x≤15时，如图4所示．
，
AC=6，BC=，BD=x，BE=（x﹣6），EG=，重叠部分的面积为y=
=ACBC﹣BEEG，即y=
，化简，得
=
；
综上所述：
；
（3）如图5所示作NG⊥DE于G点．
，
点M在NG上时MN最短，NG是△DEF的中位线，NG=EF=
．
MB=CB=，∠B=30°，MG=MB=，
MN最小=
=
．
