Question

如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；

依次操作下去…

（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为　 　，求此时线段EF的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．

①请判断四边形EFGH的形状为　 　，此时AE与BF的数量关系是　 　；

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；

（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．

在Rt△ADE与Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）

∴AE=CF．

设AE=CF=x，则BE=BF=4﹣x

∴△BEF为等腰直角三角形．

∴EF=BF=（4﹣x）．

∴DE=DF=EF=（4﹣x）．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE²+AD²=DE²，即：x+4²=[（4﹣x]²，

解得：x₁=8﹣4，x₂=8+4（舍去）

∴EF=（4﹣x）=4﹣4．

DEF的形状为等边三角形，EF的长为4﹣4．

（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下：

依题意画出图形，如答图1所示：

由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH的形状为正方形．

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3．

∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠2=∠4．

在△AEH与△BFE中，

∴△AEH≌△BFE（ASA）

∴AE=BF．

②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，

∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4﹣x．

∴y=S_{正方形ABCD}﹣4S_△AEH=4×4﹣4×x（4﹣x）=2x²﹣8x+16．

∴y=2x²﹣8x+16（0＜x＜4）

∵y=2x²﹣8x+16=2（x﹣2）²+8，

∴当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，

∴y的取值范围为：8≤y＜16．

（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4﹣4．

如答图2所示，粗线部分是由线段EF经过7次操作所形成的正八边形．

设边长EF=FG=x，则BF=CG=x，

BC=BF+FG+CG=x+x+x=4，解得：x=4﹣4．