Question

如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD，∠ADC=60°，设AB=3x．

（1）用x表示AD和CD；

（2）用x表示S，并求S的最大值；

（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F分别是AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．

Answer 1

解：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，

则四边形AHGB为矩形，

∴HG=AB=3x，

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴AD=BC，DH=CG，

在Rt△ADH中，设DH=t，

∵∠ADC=60°，

∴∠DAH=30°，

∴AD=2t，AH=t，

∴BC=2t，CG=t，

∵等腰梯形ABCD的周长为48，

∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，

∴AD=2（8﹣x）=18﹣2x，

CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x；

（2）S=（AB+CD）•AH

=（3x+16+x）•（8﹣x）

=﹣2x²+8x+64，

∵S=﹣2（x﹣2）²+72，

∴当x=2时，S有最大值72；

（3）连结OA、OD，如图②，

当x=2时，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高为×（8﹣2）=6，

则AE=3，DF=9，

∵点E和点F分别是AB和CD的中点，

∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，

∴EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6，

∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，

设OE=a，则OF=6﹣a，

在Rt△AOE中，

∵OE²+AE²=OA²，

∴a²+3²=R²，

在Rt△ODF中，

∵OF²+DF²=OD²，

∴（6﹣a）²+9²=R²，

∴a²+3²=（6﹣a）²+9²，解得a=5，

∴R²=（5）²+3²=84，

∴R=2．