Question

如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=3，BC=4，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，点E是边BC的中点，连结DE．设点D运动的时间为t秒．求当t取何值时，△ABC与△CDE相似？写出所有的情况．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：动点型,分类讨论

分析：分D点在BC的左边和D点在BC的右边两种情况讨论即可求解．

解答：解：∵点E是边BC的中点，
∴CE=

1

2

BC=2，
①当D点在BC的左边时，
△CAB与△CDE相似，则

CA

CD

=

CB

CE

，

3

3-2t

=

4

2

，
解得t=

3

4

；
△CAB与△CED相似，则

CA

CE

=

CB

CD

，即

3

2

=

4

3-2t

，
解得t=

1

6

；
②当D点在BC的右边时，
△CAB与△CDE相似，则

CA

CD

=

CB

CE

，即

3

2t-3

=

4

2

，
解得t=

9

4

；
△CAB与△CED相似，则

CA

CE

=

CB

CD

，即

3

2

=

4

2t-3

，
解得t=

17

6

；
故当t取

3

4

或

1

6

或

9

4

或

17

6

时，△ABC与△CDE相似．

点评：考查了相似三角形的判定和性质：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；注意分情况讨论求解．