Question

16．已知二次函数y=ax²+bx+c（a＜b）的图象恒不在x轴下方，且m＜$\frac{a+b+c}{b-a}$恒成立．求m的取值范围．

Answer 1

分析 利用二次函数的性质可判断a＞0，b＞0，c＞0，b²-4ac≤0，则c≥$\frac{{b}^{2}}{4a}$，所以$\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{（2a+b）^{2}}{4a（b-a）}$，设b=a+m（m＞0），于是$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$可表示为$\frac{（3a+m）^{2}}{4am}$，再利用（3a+m）²≥4•3a•m（当且仅当m=3a时取等号）可得$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$≥$\frac{4•3a•m}{4am}$，即$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$≥3，于是得到m＜3．

解答 解：根据题意得a＞0，b＞0，c＞0，b²-4ac≤0，则c≥$\frac{{b}^{2}}{4a}$，
所以$\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$，
而$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{4{a}^{2}+4ab+{b}^{2}}{4a（b-a）}$=$\frac{（2a+b）^{2}}{4a（b-a）}$，
由题设得b＞a＞0，设b=a+m（m＞0），
则$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{（3a+m）^{2}}{4am}$，
因为a＞0，m＞0，则（3a+m）²≥4•3a•m（当且仅当m=3a时取等号），
则$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{（3a+m）^{2}}{4am}$≥$\frac{4•3a•m}{4am}$，即$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$≥3，
而m＜$\frac{a+b+c}{b-a}$，
所以m＜3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程；对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．