Question

11．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的两个动点，过点D、F分别作BC的平行线，分别交AC于点E、G．记△ADE的面积为S₁，四边形DEGF的面积为S₂，四边形FGCB的面积为S₃．
（1）当AD=DF=FB时，求S₁：S₂：S₃；
（2）当AD=FB，且S₁+S₂=S₃，求EG：GC的值．

Answer 1

分析 （1）由点D、E、F、G分别是边AB、AC的三等分点，可得DF∥EG∥BC，AD：AE：AB=1：2：3，即可证得△ADF∽△AEG∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S_△ADF：S_△AEG：S_△ABC的值，继而求得答案；
（2）过点A作AH⊥BC于H，AH交DE于M、交FG于N，如图所示：设ED=a，GF=b，AM=h，则BC=a+b，由△AED∽△AFG，得到$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DE}{FG}$，于是求得AN=$\frac{b}{a}$h，MN=（$\frac{b}{a}$-1）h，求出图形的面积S₁=$\frac{1}{2}$ah，S₂=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{b}{a}$-1）h，S₃=$\frac{1}{2}$（b+a+b）h，由于S₁+S₂=S₃，于是得到方程$\frac{1}{2}$ah+$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{b}{a}$-1）h=$\frac{1}{2}$（b+a+b）h，得到b=（1+$\sqrt{2}$）a，根据平行线分线段成比例得到AG：AE=1+$\sqrt{2}$，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵AD=DF=FB，
∵DE∥FG∥BC，∴AD：AF：AB=1：2：3，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴S_△ADE：S_△AFG：S_△ABC=1：4：9，
∴S₁：S₂：S₃=1：3：5．

（2）过点A作AH⊥BC于H，AH交DE于M，交FG于N，如图所示：
设ED=a，GF=b，AM=h，
则BC=a+b，
∵DE∥FG，
∴△AED∽△AFG，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DE}{FG}$，
∴AN=$\frac{b}{a}$h，MN=（$\frac{b}{a}$-1）h，
∴S₁=$\frac{1}{2}$ah，S₂=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{b}{a}$-1）h，S₃=$\frac{1}{2}$（b+a+b）h，
∵S₁+S₂=S₃，
∴$\frac{1}{2}$ah+$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{b}{a}$-1）h=$\frac{1}{2}$（b+a+b）h，
解得：b=（1+$\sqrt{2}$）a，
∴AG：AE=1+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{EG}{AE}$=$\sqrt{2}$，
∵AD=BF，DE∥GF∥BC，
∴EG：GC=$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．