题目内容

如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，∠ABC的平分线交AD、AC于E、F，点P是BF延长线上一点，且∠APB=45°，连接PC；以下结论：①CF=2DE；②BE= $数学公式$ PE；③AE•CF= $数学公式$ AP•EF；④BF•PB+CF•AC= $数学公式$ AB²．其中正确的结论是

A.
①②
B.
①③④
C.
①②③
D.
①②③④

C
分析：首先过点F作FG⊥BC于G，由题意易得△ABD，△ACD，△CFG是等腰直角三角形，△AEF与△APE是等腰三角形，然后由△ABF∽△DBE，可求得①正确；再过点P作PH⊥AD于H，由等腰三角形的性质与平行线分线段成比例定理，可求得②正确；又由△ABP∽△FBC，可证得③正确；由△ABP∽△FBC，可得BF•PB=AB•BC= $\text{[math]}$ AB²，由CF= $\text{[math]}$ FG= $\text{[math]}$ AF，可得CF•AC=（2- $\text{[math]}$ ）AB²，继而可求得BF•PB+CF•AC=2AB²．
解答：过点F作FG⊥BC于G，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD是高，EF是∠ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ABF=∠CBF= $\text{[math]}$ ∠ABC=22.5°，FG=FA，
∴△ABD、△ACD与△CFG是等腰直角三角形，
∴AD=BD=CD，
∵∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠BDE=90°，
∴△ABF∽△DBE，
∴AF：DE=AB：BD= $\text{[math]}$ ，
∴AF= $\text{[math]}$ DE，
∴FG= $\text{[math]}$ DE，
∵CF= $\text{[math]}$ FG= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ DE=2DE，
故①正确；
过点P作PH⊥AD于H，
∵∠APB=45°，∠EAF=45°，∠AEP=∠BED=90°-∠CBF=67.5°，
∴∠PAE=180°-∠APB-∠AEP=67.5°，∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=67.5°，
∴∠PAE=∠AEP，∠EAF=∠AEF，
∴PA=PE，AE=AF，
∴AH=HE，
∴AE=FG= $\text{[math]}$ DE，
∴HE= $\text{[math]}$ DE，
∵∠PHD=∠BDH=90°，
∴PH∥BD，
∴PE：BE=EH：ED= $\text{[math]}$ ：2，
∴BE= $\text{[math]}$ PE；
故②正确；
∵∠EAF=∠APB，∠AEF=∠AEP，
∴△AEF∽△PEA，
∴AP：AE=AE：EF，

∴AE²=AP•EF，
∵CF= $\text{[math]}$ FG= $\text{[math]}$ AE，
∴AE•CF= $\text{[math]}$ AE²= $\text{[math]}$ AP•EF；
故③正确；
∵∠ABP=∠CBP，∠APB=∠ACB=45°，
∴△ABP∽△FBC，
∴AB：BF=PB：BC，
∴AB•BC=BF•PB，
∵BC= $\text{[math]}$ AB，
∴BF•PB=AB•BC= $\text{[math]}$ AB²，
∵CF= $\text{[math]}$ FG= $\text{[math]}$ AF，
∴CF= $\text{[math]}$ AC=（2- $\text{[math]}$ ）AC，
∴CF•AC=（2- $\text{[math]}$ ）AC•AC=（2- $\text{[math]}$ ）AB²，
∴BF•PB+CF•AC= $\text{[math]}$ AB²+（2- $\text{[math]}$ ）AB²=2AB²．
故④错误．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．