Question

17．在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（-1，0），点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，4），抛物线过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点N事抛物线上的一点（点N在直线AC上方），过点N作NG⊥x轴，垂足为G，交AC于点H，当线段ON与CH互相平分时，求出点N的坐标．
（3）设抛物线的对称轴为直线L，顶点为K，点C关于L的对称点J，x轴上是否存在一点Q，y轴上是否一点R使四边形KJQR的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得NH与OC的关系，根据解方程，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线短两端点的距离相等，可得DR与DK的长，QJ与QE的关系，根据两点之间线段最短，可得KR+RQ+QJ=ED，根据勾股定理，可得DE的长，KJ的长．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；
（2）如图1，
设AC的解析式为y=kx+b，将A、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
AC的解析式为y=-x+4，
设N（m，-m²+3m+4），H（m，-m+4）．
NH=-m²+4m．
由线段ON与CH互相平分，得
NH=OC=4，
即-m²+4m=4，
解得m=2，-m²+3m+4=6，即N（2，6），
当线段ON与CH互相平分时，点N的坐标为（2，6）；
（3）如图2，
作K点关于y轴的对称点D，作J点关于x轴的对称点E，连接DE交y轴于R交x轴于Q点，
y=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，顶点K（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）．
由点C关于对称轴L=$\frac{3}{2}$的对称点J，C（0，4），得
J点坐标为（3，4）．
由K点关于y轴的对称点D，K（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），得
D点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）．
由J点关于x轴的对称点E，J（3，4），得
E点的坐标为（3，-4）．
由勾股定理，得KJ=$\sqrt{（3-\frac{3}{2}）^{2}+（4-\frac{25}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{4}$；
DE=$\sqrt{（3+\frac{3}{2}）^{2}+（-4-\frac{25}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2005}}{4}$，
KJQR的周长最小=KR+RQ+QJ+KJ=DE+KJ=$\frac{\sqrt{2005}}{4}$+$\frac{3\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行四边形的判定与性质得出关于m的方程是解题关键，利用线段垂直平分线的性质得出DR与DK的长，QJ与QE的关系是解题关键．