Question

我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆弧ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是奇异三角形．

Answer 1

解：（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题，
理由是：∵设等边三角形的一边为a，
则a²+a²=2a²，
∴符合“奇异三角形”的定义得出：命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；

（2）∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b=a，c=a，
∴a：b：c=1：：；

（3）∵①AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵点D是半圆弧ADB的中点，
∴弧AD=弧DB，
∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，
∴△ACE是奇异三角形．
分析：（1）设等边三角形ABC饿边长是a，则a²+a²=2a²，根据“奇异三角形”的定义推出即可；
（2）根据勾股定理得出a²+b²=c²①，根据奇异三角形得出a²+c²=2b²②，由①②求出b=a，c=a，代入即可求出答案；
（3）根据勾股定理得出AC²+BC²=AB²，AD²+BD²=AB²，求出AD=BD，求出AC²+CB²=2AD²，把CB=CE，AE=AD代入求出AC²+CE²=2AE²即可．
点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，命题与定理等知识点的综合运用．