Question

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y=-x²+6x-5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x=-1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x=-1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x=-1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得点A、B的坐标，然后利用对称性可得到E、D的坐标，故此W₂可看作是W₁向左平移8个单位得到；
（2）连结BF交x=-1与H．然后求得直线FB的解析式，在求得当x=-1时，对应的y值，从而可得到点H的坐标；
（3）当DP为平行四边形的对角线时，设点P的坐标为（-1，a），Q（x，y），依据中点坐标公式可知Q（1，a-4），然后将点Q的坐标代入W₁的解析式可求得a的值；当DP为平行四边形的边时．设点P的坐标为（-1，a），由PQ∥DF且PQ=DF可知点Q的坐标为（-3，a+4），然后将点Q的坐标代入W₁的解析式可求得a的值．

解答 解：（1）令y=0得：0=-x²+6x-5，解得x=1或x=5，
∴A（1，0），B（5，0）．
∵点E与段B关于x=-1对称，
∴点E（-7，0）．
∴AE=8．
∴W₂可由W₁向右平移8个单位得到．
∴抛物线W₂的表达式为y=-（x+8）²+6（x+8）-5，即y=-x²-10x-21．

（2）如图1所示：连结BF交x=-1与H．

∵y=-x²+6x-5=-（x-3）²+4，
∴C（3，4）．
∵点F与点C关于x=-1对称，
∴FH=CH，F（-5，4）．
∴当点F、H、B在一条直线上时，HC+BH有最小值，即△BCH的周长最小．
设BF的解析式为y=kx+b，将点B和点F的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{2}{5}$，b=2．
∴直线BF的解析式为y=-$\frac{2}{5}$x+2．
当x=-1时，y=$\frac{12}{5}$．
∴H（-1，$\frac{12}{5}$）．

（3）当DP为平行四边形的对角线时，设点P的坐标为（-1，a），Q（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴$\frac{x-5}{2}=\frac{-3-1}{2}$，$\frac{0+a}{2}=\frac{4+y}{2}$，
∴x=1，y=a-4．
∴Q（1，a-4）．
将点Q的坐标代入W₁的解析式得：a-4=-1+6-5，解得a=4．
∴Q（1，0）．
当DP为平行四边形的边时．设点P的坐标为（-1，a）．
∵平行四边形的对边平行且相等，
∴PQ可看作由DF平移得到．
∴点Q的坐标为（-1-2，a+4）．
将点Q的坐标代入W₁的解析式得：a+4=-9+6×（-3）-5，解得a=-36．
∴Q（-3，-32）．
综上所述，点Q的坐标为（1，0）或（-3，-32）时，以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了轴对称图形的性质、平移与坐标变化的规律，用含a的式子表示出点Q的坐标是解题的关键．