Question

2．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径r=8，小圆的半径r=6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）连接OC，OA，根据OE⊥AB且OE⊥CD可得OE=6，CE=DE，再根据勾股定理求出CE及AE的长，进而可得出结论．

解答 （1）证明：作OE⊥AB，则AE=BE，CE=DE，
故BE-DE=AE-CE；
即AC=BD；

（2）解：连接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE=4，CE=DE，
∴DE=CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AE=$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴AC=AE-CE=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．