Question

梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃ ，且S₁ +S₃ =9S₂，则CD=（    ）

A.2.5AB        B.3AB  

C.3.5AB           D.4AB

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】解：如图，作AO∥BC交DC于O点，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，

∴AB=OC，AO=BC，∠DAO=90°，

∵以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，

∴S₁=AM×MD=AM²，

根据勾股定理得：AM²+MD²=AD²，

∵AM=MD，

∴2AM²=AD²，

∴S₁= ，

同理：∵S₂=AN²•，2AN²=AB²，∴S₂=，

同理：∵S₃=BP²•，2BP²=BC²，∴S₃=，

∵S₁+S₃=9S₂

∴

∴（DC-AB）²=9AB²

∴（CD-4AB）（CD+2AB）=0，

∴CD=4AB，CD=-2AB（不合题意，舍去）

故选D．