题目内容
如图,已知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB<CD,AB=10,BC=3.(1)如果M为AB上一点,且满足∠DMC=∠A,求AM的长;
(2)如果点M在AB边上移动(点M与A,B不重合),且满足∠DMN=∠A,MN交BC延长线于N,设AM=x,CN=y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.
分析:(1)首先证明△ADM∽△MBC,根据相似比求得AN的长即可.
(2)据题中的思路可证得△ADM∽△BMN,据已知AM=x,CN=y及相似三角形相似比可得到y关于x的函数解析式.
(2)据题中的思路可证得△ADM∽△BMN,据已知AM=x,CN=y及相似三角形相似比可得到y关于x的函数解析式.
解答:解:在等腰梯形ABCD中,∵AB∥CD,
∴∠A=∠B,
又∵∠A=∠DMC,∠1+∠2=∠3+∠DMC,
∴∠1=∠3,
∴△ADM∽△MBC,则
=
,AD=BC(已知),
设AM=x,则
=
,
∴x2-10x+9=0,∴x=1或x=9,
∴AM的长为1或9.
(2)同理可证△ADM∽△BMN,
可得
=
即
=
代入数值得y=-
x2+
x-3(0<x<1).
∴∠A=∠B,
又∵∠A=∠DMC,∠1+∠2=∠3+∠DMC,
∴∠1=∠3,
∴△ADM∽△MBC,则
AM |
AD |
BC |
BM |
设AM=x,则
x |
3 |
3 |
10-x |
∴x2-10x+9=0,∴x=1或x=9,
∴AM的长为1或9.
(2)同理可证△ADM∽△BMN,
可得
AM |
AD |
BN |
BM |
AM |
BC |
BC+CN |
AB-AM |
代入数值得y=-
1 |
3 |
10 |
3 |
点评:本题主要考查相似三角形的判定及性质,涉及到二次函数知识点,考查学生综合知识的运用及综合解题的能力.
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