题目内容

如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，且AP：PD=2：1，求AM：AB的值；
（2）若点D是BC的中点，试证明 $数学公式$ ；
（3）若点D是BC上任意一点，试证明 $数学公式$ ．

解：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，

∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；

（2）延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，
则四边形ABQC是平行四边形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；

（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）

（3）过点D作DE∥PM交AB于E，
∴ $\text{[math]}$ ，
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
同理可得： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
（注：如果像第（2）题那样添辅助线，也可以证．）
分析：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
（2）延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得 $\text{[math]}$ ；
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得 $\text{[math]}$ ，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得 $\text{[math]}$ ，继而求得 $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键．