Question

如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．

（1）求证：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；

（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；

（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：由题意得，

AO=AD，∠AOG=∠ADG=90°，

∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，

∴△AOG≌△ADG（HL）.                                       ……2分

（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP.理由如下：

由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP，DP=BP，

∵由（1）△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG，DG=OG，

又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，

∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°.

∴PG=DG+DP=OG+BP.                                          ……6分

（3）∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，

又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，∴∠1=∠2=30°，

在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，

∴G点坐标为（，0），CG=3﹣，

在Rt△PCG中，PC==-3， ∴P点坐标为：（3，-3）

设直线PE的解析式为y=kx+b，

则，    解得

∴直线PE的解析式为y=x﹣3.                            ……10分

    （4）、.