Question

如图．AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠COD=∠DOB=60°，延长AB至E，使BE=AB，连接CE、DE，CE与OD交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求sin∠AEC和OF的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB=OD=AB．
在△ODE中，BE=AB，
∴OE=OB+BE=AB=2OD，
∴∠DEO=30°．
又∵∠DOB=60°，
∴∠ODE=180°-∠DOE-∠DEO=90°，即OD⊥DE，
又点D在圆O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接AC．
∵∠COD=∠DOB=60°，
∴∠ACO=60°．
又∵OA=OC，
∴等腰△ACO的等边三角形，
∴∠A=∠COD=60°，
∴AC∥OF，
∴=．
又BE=AB，AC=OA（等边三角形的三条边相等），⊙O的半径为2，
∴OF=OA=；
过点C作CG⊥AE于点G．则CG=，OG=1，GE=5，
在直角△CGE中，由勾股定理求得CE=2，
则sin∠AEC===．
分析：（1）欲证DE是⊙O的切线，只需证明OD⊥DE即可；
（2）连接AC构建等边三角形ACO．过点C作CG⊥AE于点G，构建直角△CGE．通过平行线的判定与平行线解线段成比例求得OF=AC；在直角△CGE中求sin∠AEC的值．
点评：本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．