Question

20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果AD=5，AE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得AE与OD平行，由两直线平行同旁内角互补，得到∠E与∠EDO互补，再由∠E为直角，可得∠EDO为直角，即DE为圆O的切线，得证；
（2）连接BD，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADB为直角，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义得到cos∠DAB=$\frac{AD}{AB}$，又在直角三角形AED中，由AE及AD的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠EAD的值，由∠EAD=∠DAB，得到cos∠EAD=cos∠DAB，得出cos∠DAB的值，即可求出直径AB的长，进而求得半径长．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠BAD=ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠E+∠EDO=180°，
又∵AE⊥ED，即∠E=90°，
∴∠EDO=90°，
则ED为圆O的切线；

（2）解：连接BD，如图2所示，过点A作AF⊥AC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，cos∠DAB=$\frac{AD}{AB}$，
在Rt△AED中，AE=4，AD=5，
∴cos∠EAD=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{4}{5}$，又∠EAD=∠DAB，
∴cos∠DAB=cos∠EAD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
则AB=$\frac{5}{4}$AD=$\frac{25}{4}$，即圆的直径为$\frac{25}{4}$，
∴半径AO=$\frac{25}{8}$．

点评 此题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，切线的证明方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线证明垂线段等于圆的半径．