Question

10．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AE的中点，过点C作CD⊥AB，垂足为点G，AE交CD于点G．
（1）求证：AF=CF；
（2）若tan∠BAE=$\frac{3}{4}$，AE=8，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接AC，由垂径定理可得$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，又由点C是弧AE的中点，可得$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$，继而证得∠ACD=∠CAE，则可证得结论；
（2）由tan∠BAE=$\frac{3}{4}$，易得FG=3x，AG=4x，CF=AF=5x，即可求得CD=16x，然后证得CD=AE，则可求得答案．

解答 （1）证明：连接AC，
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∵点C是$\widehat{AE}$的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF；

（2）∵在Rt△ACG中，tan∠BAE=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠BAE=$\frac{FG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∴设FG=3x，则AG=4x，
∴CF=AF=$\sqrt{A{G}^{2}+F{G}^{2}}$=5x，
∴CG=FG+CF=8x，
∵CD⊥AB，
∴CD=2CG=16x，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{AE}$，
∴CD=AE=8，
∴16x=8，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴AF=5x=$\frac{5}{2}$．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理、弧与弦、圆周角的关系等知识．注意利用方程思想求解是关键．