Question

【题目】如图，正方形中，为的中点，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，，，连接并延长交于点．则下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的个数有（ ）

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】B

【解析】

①作辅助线，构建三角形全等，证明△ADE≌△GKF，则FG=AE，可得FG=2AO；

②证明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，则∠DOE≠∠HEA，OD与HE不平行；

③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，证明△ADE∽△HOA，得，所以，根据AR∥CD，得，则；④证明△HAE∽△ODE，可得，等量代换可得OE2=AHDE；

⑤分别计算HC、OG、BH的长，可得结论．

：①如图，过G作GK⊥AD于K，

∴∠GKF=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，

∴∠ADE=∠GKF，

∵AE⊥FH，

∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，

∵∠OAF+∠AED=90°，

∴∠AFO=∠AED，

∴△ADE≌△GKF，

∴FG=AE，

∵FH是AE的中垂线，

∴AE=2AO，

∴FG=2AO，

故①正确；

②∵FH是AE的中垂线，

∴AH=EH，

∴∠HAE=∠HEA，

∵AB∥CD，

∴∠HAE=∠AED，

Rt△ADE中，∵O是AE的中点，

∴，

∴∠ODE=∠AED，

∴∠HEA=∠AED=∠ODE，

当∠DOE=∠HEA时，OD∥HE，

但AE＞AD，即AE＞CD，

∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，

∴OD与HE不平行，

故②不正确；

③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，

∴，，

易得△ADE∽△HOA，

∴，

∴，

∴，

Rt△AHO中，由勾股定理得：，

∴BH=AH-AB= ，

∴，

延长CM、BA交于R，

∵RA∥CE，

∴∠ARO=∠ECO，

∵AO=EO，∠ROA=∠COE，

∴△ARO≌△ECO，

∴AR=CE，

∵AR∥CD，

∴，

∴，

∴，

故③正确；

④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，

∴△HAE∽△ODE，

∴，

∵AE=2OE，OD=OE，

∴OE2OE=AHDE，

∴2OE2=AHDE，

故④正确；

⑤由③知：，

∵，

，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴OG+BH≠HC，

故⑤不正确；

本题正确的有；①③④，3个，

故答案为：B．