Question

【题目】如图，在等边中，分别为的中点，延长至点，使，连结和．

（1）求证：

（2）猜想：的面积与四边形的面积的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）相等，理由见解析．

【解析】

（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，且DE=BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）分别过点A，D，作AM⊥DE，DN⊥BC，根据等底等高的三角形面积相等求得S△ADE=S△ECF，再根据S△ADE +S四边形BDEC=S△ECF +S四边形BDEC可得出结果．

（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE＝BC．

∵CF＝BC，

∴DE∥CF，DE=CF，

∴四边形DEFC为平行四边形，

∴CD=EF；

（2）解：相等．理由如下：

分别过点A，D，作AM⊥DE，DN⊥BC，则∠AMD=∠DNB=90°，

∵DE∥BC，

∴∠ADM=∠DBN．

∵AD=DB，

∴△ADM≌△DBN(AAS)，

∴AM=DN．

又∵DE=CF，

∴S△ADE=S△ECF （等底等高的三角形面积相等）．

∴S△ADE +S四边形BDEC=S△ECF +S四边形BDEC，

∴△ABC的面积等于四边形BDEF的面积．