Question

12．如图，一喷泉喷出的水流的形状由抛物线OAB逐渐变化到抛物线OCD，再由抛物线OCD逐渐变化到抛物线OAB，如此反复，在如图所示的坐标系中，这些抛物线都满足关系式y=-（x-k）²+h．
（1）求当k=2时，抛物线的解析式；
（2）若喷泉喷出的水流为抛物线OCD，这时喷出水流的最大高度为4m，求此时水流喷出的最远距离OD是多少？
（3）若OB=2，此时抛物线OAB水流的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）将k=2，原点（0，0）代入y=-（x-k）²+h求得h的值即可求解；
（2）由（1）知当喷出水流的最大高度为4m时解析式为y=-（x-2）²+4，令y=0求出x即可；
（3）由OB=2得对称轴k=1，即抛物线解析式为y=-（x-1）²+h，在将原点（0，0）代入求得h可得．

解答 解：（1）当k=2时，y=-（x-2）²+h，
将原点（0，0）代入得：-4+h=0，
解得：h=4，
故抛物线解析式为：y=-（x-2）²+4；

（2）由（1）知当喷出水流的最大高度为4m时，抛物线解析式为：y=-（x-2）²+4，
当y=0时，-（x-2）²+4=0，
解得：x₁=0（舍），x₂=4，
故此时水流喷出的最远距离OD是4米；

（3）当OB=2时，抛物线OAB的对称轴为x=1，
∴此时抛物线解析式为y=-（x-1）²+h，
将点（0，0）代入得：-1+h=0，解得：h=1，
∴抛物线OAB的解析式为y=-（x-1）²+1，即抛物线OAB水流的最大高度是1米．

点评 本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点式y=-（x-k）²+h中h、k的实际意义是解题的关键．