Question

5．如图，在⊙O中，AC与BD是圆的直径，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；
（2）求证：BE=CF．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD=90°，即可得出四边形ABCD是矩形；
（2）由AAS证明△BOE≌△COF，得出对应边相等即可．

解答 （1）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AC与BD是圆的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）证明：∵BO=CO，
又∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
在△BOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠CFO}&{\;}\\{∠BOE=∠COF}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（AAS）．
∴BE=CF．

点评 本题考查了圆周角定理、矩形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．