Question

20．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y₁=2x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$与直线l交于点C，且AB=2AC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据函数图象，直接写出0＜y₁＜y₂的x的取值范围．

Answer 1

分析 由OB∥CH得△ABO∽△ACH得$\frac{OA}{AH}=\frac{OB}{CH}=\frac{AB}{AC}=2$，由此可以求出点P坐标．

解答 解：（1）如图，过点C作CH⊥y轴，垂足为H．
把x=0代入y₁=2x+4得，y=4，
把y=0，代入y₁=2x+4得，x=-2，
∴A点坐标为（0，4），B点坐标为（-2，0），
∴OB=2，OA=4，
∵OB∥CH，
∴△ABO∽△ACH
∴$\frac{OA}{AH}=\frac{OB}{CH}=\frac{AB}{AC}=2$，
即$\frac{4}{AH}=\frac{2}{CH}=2$，
解得AH=2，CH=1，
∴OH=6
∴点C坐标为（1，6）
把点C作标代入反比例函数解析式，得k=6
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$．
（2）∵点C坐标（1，6），
∴由图象可知，0＜y₁＜y₂解析时，0＜x＜1．

点评 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定和性质、待定系数法确定反比例函数的解析式，解题的关键是发现相似三角形解决问题，属于中考常考题型．