Question

【题目】二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有______.

Answer 1

【答案】②③⑤

【解析】

根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝＝1，得到b＝2a＞0，即2a＋b＝0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a＋b＋c，则当m≠1时，a＋b＋c＞am2＋bm＋c，即a＋b＞am2＋bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）的右侧，则当x＝1时，y＜0，所以ab＋c＜0；把ax12＋bx1＝ax22＋bx2先移项，再分解因式得到（x1x2）[a（x1＋x2）＋b]＝0，而x1≠x2，则a（x1＋x2）＋b＝0，即x1＋x2＝，然后把b＝2a代入计算得到x1＋x2＝2．

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，

∴b＝2a＞0，即2a＋b＝0，所以②正确；

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①错误；

∵抛物线对称轴为直线x＝1，

∴函数的最大值为a＋b＋c，

∴当m≠1时，a＋b＋c＞am2＋bm＋c，即a＋b＞am2＋bm，所以③正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）的右侧

∴当x＝1时，y＜0，

∴ab＋c＜0，所以④错误；

∵ax12＋bx1＝ax22＋bx2，

∴ax12＋bx1ax22bx2＝0，

∴a（x1＋x2）（x1x2）＋b（x1x2）＝0，

∴（x1x2）[a（x1＋x2）＋b]＝0，

而x1≠x2，

∴a（x1＋x2）＋b＝0，即x1＋x2＝，

∵b＝2a，

∴x1＋x2＝2，所以⑤正确．

综上所述，正确的有②③⑤．

故答案为②③⑤．