Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）直接写出点A、B、C的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；

（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使，请求出点D的坐标；

（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点A、B、C的坐标分别为：（1，0）、（5，0）、（0，5）；（2）P（2，3）；（3）D（，）；（4）M的坐标为：（2，7）或（2，3）或（2，6）或（2，1）．

【解析】

（1）令y＝0，则x＝1或5，令x＝0，则y＝5，即可求解；

（2）点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求，即可求解；

（3）S△BDE：S△BEF＝2：3，则，即：，即可求解；

（4）分MB为斜边、MC为斜边、BC为斜边三种情况，分别求解即可．

（1）令y＝0，则x＝1或5，令x＝0，则y＝5，

故点A、B、C的坐标分别为：（1，0）、（5，0）、（0，5）；

（2）抛物线的对称轴为：x＝2，

点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求，

直线BC的表达式为：y＝x＋5，

当x＝2时，y＝3，故点P（2，3）；

（3）设点D（x，x2＋4x＋5），则点E（x，x＋5），

∵S△BDE：S△BEF＝2：3，则，

即：，

解得：m＝或5（舍去5），

故点D（，）；

（4）设点M（2，m），而点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），

则MB2＝9＋m2，MC2＝4＋（m5）2，BC2＝50，

①当MB为斜边时，则9＋m2＝4＋（m5）2＋50，解得：m＝7；

②当MC为斜边时，则4＋（m5）2=9＋m2+50，可得：m＝3；

③当BC为斜边时，则4＋（m5）2+9＋m2=50可得：m＝6或1；

综上点M的坐标为：（2，7）或（2，3）或（2，6）或（2，1）．