Question

2．如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象经过点A（-1，-1）和点B（3，-9）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函效图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法确定二次函数的解析式；
（2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴．
（3）将P（m，m）坐标代入y=x²-4x-6，得m=m²-4m-6，解方程求得m的值，根据题意得到m=6，从而求得P的坐标，根据点P与点Q关于对称轴x=2对称，所以点Q到x轴的距离为6．

解答 解：（1）将A（-1，-1）和点B（3，-9）代入y=ax²-4x+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{-1=a+4+c}\\{-9=9a-12+c}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
所以二次函数的表达式为y=x²-4x-6；
（2）由y=x²-4x-6=（x-2）²-10可知：
对称轴为x=2；顶点坐标为（2，-10）；
（3）将P（m，m）坐标代入y=x²-4x-6，得m=m²-4m-6．
解得m₁=-1，m₂=6．
因为m＞0，所以m=-1不合题意，舍去．所以m=6，
所以P点坐标为（6，6）；
因为点P与点Q关于对称轴x=2对称，所以点Q到x轴的距离为6．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法是解题的关键．