Question

如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B，过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C。

⑴当a=1，b=-2，c=3时，求点C的坐标（直接写出答案）；
⑵若a、b、c满足了。
①求b∶b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由。

Answer 1

解：（1）C（3，0）；
（2）①抛物线，令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c），
∵，
∴，
∴点P的坐标为（），
∵PD⊥x轴于D，
∴点D的坐标为（），
根据题意，得a=a′，c=c′，
∴抛物线F′的解析式为，
又∵抛物线F′经过点D（），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②由①得，抛物线F′为，
令y=0，则，
∴，
∵点D的横坐标为，
∴点C的坐标为（），
设直线OP的解析式为y=kx，
∵点P的坐标为（），
∴，
∴，
∴，
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴
∴，
∵点P的横坐标为，
∴点B的横坐标为，
把代入，得，
∴点B的坐标为，
∴BC∥OA，AB∥OC（或BC∥OA，BC=OA），
∴四边形OABC是平行四边形，
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形。