Question

3．观察下列各式的特点：
$\sqrt{1}$=1，$\sqrt{1+3}$=2，$\sqrt{1+3+5}$=3，$\sqrt{1+3+5+7}$=4，…
计算：$\frac{1}{\sqrt{1}×\sqrt{1+3}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+3}×\sqrt{1+3+5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{1+3+…+2015}×\sqrt{1+3+…+2017}}$=$\frac{1008}{1009}$．

Answer 1

分析 先利用题中的规律化简二次根式得到原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{1008×1009}$，然后利用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$把每个分数分成两个分数的差，再进行分数的运算即可．

解答 解：原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{1008×1009}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{1008}$-$\frac{1}{1009}$
=1-$\frac{1}{1009}$
=$\frac{1008}{1009}$．
故答案为$\frac{1008}{1009}$．

点评 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．