Question

如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：圆周角定理,三角形的面积,等腰三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）连结OB、OC，如图，证明△OBC为等边三角形得到∠BOC=60°，然后根据圆周角定理求解；
（2）作OH⊥BC于H，交⊙O于D，连结DB、DC，则点D为优弧BC的中点，根据等边三角形的性质得OH=

3

2

BC=

3

，则可计算出S_△BDC=2+

3

，由于点A为弦BC所对优弧的中点时，点A到BC的距离最大，此时△ABC面积的最大，所以△ABC面积的最大值为2+

3

．

解答：解：（1）连结OB、OC，如图，
∵OB=OC=2，BC=2，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=30°；
（2）作OH⊥BC于H，交⊙O于D，连结DB、DC，则点D为优弧BC的中点，
∵△OBC为等边三角形，
∴OH=

3

2

BC=

3

，
∴S_△BDC=

1

2

×2×（2+

3

）=2+

3

，
∵点A为弦BC所对优弧的中点时，点A到BC的距离最大，此时△ABC面积的最大，
∴△ABC面积的最大值为2+

3

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．