题目内容
如图，在△ABC中，D是AB中点，E和F分别是边AC、BC上的点，且DE⊥DF，求证：S△DEF＜S△ADE+S△BDF．考点：旋转的性质
专题：证明题
分析：先把△ADE绕D点旋转180°到△BDG，如图，连结GF，BG，根据旋转的性质得DG=DE，S△ADE=S△BDG，则S△ADE+S△BDF=S△BDG+S△BDF=S四边形BFDG，
再证明∴S△DEF=S△DGF，然后利用S△DGF＜S四边形BFDG即可得到S△DEF＜S△ADE+S△BDF．
再证明∴S△DEF=S△DGF，然后利用S△DGF＜S四边形BFDG即可得到S△DEF＜S△ADE+S△BDF．
解答：
证明：∵D是AB中点，
∴把△ADE绕D点旋转180°到△BDG，如图，连结GF，BG，
∴△ADE≌△BDG，
∴DG=DE，S△ADE=S△BDG，
∴S△ADE+S△BDF=S△BDG+S△BDF=S四边形BFDG，
∵DF⊥DE，DG=DE，
∴S△DEF=S△DGF，
而S△DGF＜S四边形BFDG，
∴S△DEF＜S△ADE+S△BDF．
证明：∵D是AB中点，∴把△ADE绕D点旋转180°到△BDG，如图，连结GF，BG，
∴△ADE≌△BDG，
∴DG=DE，S△ADE=S△BDG，
∴S△ADE+S△BDF=S△BDG+S△BDF=S四边形BFDG，
∵DF⊥DE，DG=DE，
∴S△DEF=S△DGF，
而S△DGF＜S四边形BFDG，
∴S△DEF＜S△ADE+S△BDF．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
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