Question

【题目】已知抛物线与直线有两个不同的交点．下列结论：①；②当时，有最小值；③方程有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则；其中正确的结论的个数是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据“抛物线与直线有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．

解：∵抛物线与直线有两个不同的交点，

∴有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故③正确，

∴，解得：，故①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，

∴当x=1时，为最小值，故②正确；

若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，

则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，

∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c，

∴两交点的横坐标分别为1-（4-c）=c-3与1+（4-c）=5-c

∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），

将（c-3,2）代入中得：

解得：或

∵，

∴，故④错误，

∴正确的有①②③，

故选：B．