Question

17．等边△ABC的边长为4，D是射线BC上任一点，线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．

（1）当点D是BC的中点时，如图1，判断线段BD与CE的数量关系，请直接写出结论：（不必证明）；
（2）当点D是BC边上任一点时，如图2，请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明；
（3）当点D是BC延长线上一点且CD=1时，如图3，求线段CE的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AE，根据段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，得到AD=DE，推出△ADE是等边三角形，由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB=AC证得AC垂直平分DE，根据线段垂直平分线的性质的即可得到结论；
（2）如图2，连接AE，由（1）得△ADE是等边三角形，得到AD=AE，∠DAE=60°，根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=60°，证得∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△AEC，由全等三角形的性质得到BD=CE，等量代换即可得到结论；
（3）如图3，连接AE，方法同（2）．

解答 解：（1）BD=CE，
如图，连接AE，
∵段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∵BD=CD，
∴∠CAD=30°，
∴AC垂直平分DE，
∴CD=CE，
∴BD=CE；

（2）AB=CD+CE，
理由：如图2，连接AE，
由（1）得△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD于△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC，
∴BD=CE，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD，
∴AB=CD+CE；

（3）如图3，连接AE，
由（1）得△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD于△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC，
∴CE=BD，
∵BD=BC+CD=5，
∴CE=5．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，连接AE构造全等三角形是解题的关键．