Question

4．已知x，y，z均为非负实数，且满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2z=3}\\{2x+y+z=3}\end{array}\right.$，求x²+y²+2z²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 首先解关于y、z的方程组求得y、z的值（用含x的式子表示），然后由x，y，z可确定出x的取值范围，然后将z=2-x、y=1-x代入所求的代数式，得到代数式的值与x的函数关系，然后利用二次函数的性质（结合自编量x的取值范围）可得到代数式的最大值和最小值．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2z=3①}\\{2x+y+z=3②}\end{array}\right.$
①+②得：3a+3z=6，则z=2-x③．
将③代入②得：2x+y+2-x=3，则x+y=1，
∴y=1-x．
∵x，y，z均为非负实数，
∴0≤x≤1．
原式=x²+（1-x）²+2（2-x）²=4x2-10x+9=4（x-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{9}{4}$．
当0≤x≤1时，函数图象位于对称轴左侧，
∴当x=0时，代数式有最大值，最大值=$\frac{17}{2}$，当x=1时，代数式有最小值，最小值=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的性质和应用、解三元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．