Question

11．在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax²相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．
（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，AC的长为4$\sqrt{2}$．
（2）如图2，若BC=AB，过O，B，C三点的抛物线L₃，顶点为P，开口向下，对应函数的二次项系数为a₃，$\frac{{a}_{3}}{a}$=-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先确定抛物线L的解析式，根据点B的纵坐标为2，求出A和B的坐标，计算AB的长，利用对称性得出BC的长，所以AC=2AB=4$\sqrt{2}$；
（2）作辅助线：过B作BK⊥x轴于K，设OK=t，得出G（4t，0），设抛物线L₃的解析式，并将B点的坐标代入可求得比值．

解答 解：（1）当a=1时，抛物线L的解析式为：y=x²，
当y=2时，2=x²，
∴x=±$\sqrt{2}$，
∵B在第一象限，
∴A（-$\sqrt{2}$，2），B（$\sqrt{2}$，2），
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵向右平移抛物线L使该抛物线过点B，
∴AB=BC=2$\sqrt{2}$，
∴AC=4$\sqrt{2}$；
（2）如图2，设抛物线L₃与x轴的交点为G，其对称轴与x轴交于Q，过B作BK⊥x轴于K，
设OK=t，则AB=BC=2t，
∴B（t，at²），
根据抛物线的对称性得：OQ=2t，OG=2OQ=4t，
∴O（0，0），G（4t，0），
设抛物线L₃的解析式为：y=a₃（x-0）（x-4t），
y=a₃x（x-4t），
∵该抛物线过点B（t，at²），
∴at²=a₃t（t-4t），
∵t≠0，
∴a=-3a₃，
∴$\frac{{a}_{3}}{a}$=-$\frac{1}{3}$，
故答案为：（1）4$\sqrt{2}$；（2）-$\frac{1}{3}$．

点评 本题是二次函数图象与平移问题，考查了二次函数的性质和平移的原则及二次函数的轴对称性，解题的关键是理解题意，灵活运用待定系数法求函数的解析式．