Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，E在AD上，AE=2，点F为AD上任意一点，点F与点A、点B不重合，过F作EC的平行线交BC于G．设BF=x，四边形EFGC的面积为y．
（1）写出y与x的函数解析式；
（2）x取何值时，EG⊥BC？

Answer 1

考点：等腰梯形的性质

专题：

分析：（1）作AM∥EC∥FG，AN⊥BC于N，根据平行线分线段成比例定理求得BG=2x，根据勾股定理求得AN，设三角形BFG中BG边的高为h，则△AEF中AE上的高为4-h，根据AD∥BC得出

x

5-x

=

h

4-h

，解得h=

4

5

x，4-h=

16

5

x，最后根据EFGC的面积=S_梯形-S_△AEF-S_△GBF-S_△DEC即可求出表达式．
（2）根据要使EG⊥BC，则BG=5，即可求得．

解答：解：（1）作AM∥EC∥FG，AN⊥BC于N，
∴BN=

1

2

（BC-AD）=3，
∴AN=

AB2-BN2

=4，
设三角形BFG中BG边的高为h，则△AEF中AE上的高为4-h，
∴

x

5-x

=

h

4-h

，解得h=

4

5

x，4-h=

16

5

x，
∵AD∥BC，
∴四边形AECM是平行四边形，
∴CM=AE=2，
∴BM=10，
∵FG∥AM，
∴

BF

AB

=

BG

BM

，即

x

5

=

BG

10

，
∴BG=2x，
∵y=S_梯形-S_△AEF-S_△GBF-S_△DEC=

1

2

（AD+BC）•AN-

1

2

AE（4-h）-

1

2

BG•h-

1

2

ED•AN=

1

2

（6+12）×4-

1

2

×2×

16

5

x-

1

2

×2x×

4

5

x-

1

2

×4×4=-

4

5

x²-

16

5

x+28
∵y与x的函数关系式为y=-

4

5

x²-

16

5

x+28．
（2）要使EG⊥BC，则BG=5，
∴2x=5，
∴x=

5

2

∴当x为

5

2

时，EG⊥BC．

点评：本题考查了梯形的性质，平行线分线段成比例定理，用间接的方法求出四边形EFGH的面积是解题的关键．