Question

19．学习了“直径所对的圆周角是直角”这一性质后，圆中借助直角转化的等角较为灵活方便，比如说：
（1）如图1，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．△ABE与△ACD相似吗？为什么？
（2）如图2，△ABC的顶点都在⊙O上，⊙O的半径为13，AC=24，AD是△ABC的高，AD=18，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据圆周角定理得∠ABE=90°，∠E=∠C，则可判断△ABE∽△ADC；
（2）如图2，过点A作直径AE，连接CE，由（1）的结论可得到△ABD∽△AEC，然后利用相似比求AB的长．

解答 解：（1）如图1，△ABE与△ADC相似．理由如下：
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC；
（2）如图2，过点A作直径AE，连接CE，
由（1）的结论可得到△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AB}{26}$=$\frac{18}{24}$，
∴AB=$\frac{39}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和圆周角定理．