Question

9．如图，AB是⊙0的直径，且AB=4，$\widehat{AC}$=10°，$\widehat{BD}$=70°，点P为直径AB上一动点，则CP+DP的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据轴对称，作出点C关于AB的对称点E，连接DE交AB于点P，此时PC+PD最小，就等于DE的长．由题意可知∠DOE=120°，然后在△DOE中求出DE的长．

解答 解：如图：点E是点C关于AB的对称点，根据对称性可知：PC=PE．
由两点之间线段最短，此时DE的长就是PC+PD的最小值，
∵AB=4，
∴OE=2，
∵$\widehat{AC}$=10°，$\widehat{BD}$=70°，
∴$\widehat{AE}$的度数为10°，$\widehat{CD}$的度数为100°，∴$\widehat{DCE}$的度数=120°，
∴∠DOE=120°，∠E=30°，
过O作ON⊥DE于N，则DE=2DN，
∵cos30°=$\frac{EN}{OE}$，
∴EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
即DE=2EN=2$\sqrt{3}$
∴PC+PD的最小值为2$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 本题考查了垂径定理以及轴对称的性质，根据轴对称找出点C的对称点E，由两点之间线段最短，确定DE的长就是PC+PD的最小值是本题的关键．