Question

【题目】如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=BE，BD，CE交于点P，CF⊥BD，垂足为点F．

（1）求证：BD=CE；

（2）若PF=3，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

(1)根据等边三角形的性质得到AB=BC，∠BAC=∠ABC，且AD=BE则可得出△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质即可得到答案；

(2)根据（1）可知∠ABC=60，△ABD≌△BCE得到∠FPC 的度数，再根据有一个角是30°的直角三角形的性质即可得到答案；

解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴ AB=BC，∠BAC=∠ABC=60，

又∵AD=BE，

在△ABD和△BCE中，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴BD=CE

（2）由（1）可知∠ABC=60，△ABD≌△BCE，

∴∠ABD=∠BCE，

∴∠ABD+∠CBD =∠ABC=60，

∴∠BCE+∠CBD =60，

∴∠BPC =180-60=120（三角形内角和定理），

∴∠FPC =180-120=60，

∵CF⊥BD，

∴△CPF为直角三角形，

∴∠FCP =30，

∴CP=2PF，

∵PF=3，∴CP=6