Question

【题目】图形变换中的数学，问题情境：在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，连接CD．探索发现：

（1）如图①，BC与BD的数量关系是 ；

（2）如图①，CD与AB的数量关系是 ；并说明理由．

猜想验证：

（3）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；

拓展延伸：

（4）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（3）中的作法，请在图③中补全图象，并直接写出BF、BP、BD三者之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）BC=BD；（2）CD=AB；（3）BF+BP＝BD，证明见解析；（4）补图见解析，BF＝BD+BP．

【解析】

（1）根据30°直角三角形的性质和中点的定义，即可得到答案；

（2）根据30°直角三角形的性质和中点的定义，证明△DBC是等边三角形，即可得到答案；

（3）同（2）的方法得出BC=BD进而得出△BCD是等边三角形，进而判断出△DCP≌△DBF，得出CP=BF即可得出结论；

（4）同（3）的方法得出BC=BD进而得出△BCD是等边三角形，进而判断出△DCP≌△DBF，得出CP=BF即可得出结论；

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴，

∵点D时AB的中点，

∴，

∴BC=BD；

故答案为：BC=BD；

（2）CD=AB；

理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠CBA＝60°，BC＝AB，

∵点D是AB的中点，

∴BC＝BD，

∴△DBC是等边三角形，

∴CD=BC，

∴BC＝AB，

∴CD=AB；

故答案为：CD＝AB；

（3）BF+BP＝BD，

理由：由（2）知 △DBC是等边三角形，

∴∠CDB＝60°，DC＝DB，

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

∴∠PDF＝60°，DP＝DF，

∴∠CDB﹣∠PDB＝∠PDF﹣∠PDB，

∴∠CDP＝∠BDF，

∴△DCP≌△DBF，

∴CP＝BF，

∵CP+BP＝BC，

∴BF+BP＝BC，

∵BC＝BD，

∴BF+BP＝BD；

（4）如图③，BF=BD+BP，

理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBA=60°，BC=AB，

∵点D是AB的中点，

∴BC=BD，

∴△DBC是等边三角形，

∴∠CDB=60°，DC=DB，

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中，

，

∴△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

∵CP=BC+BP，

∴BF=BC+BP，

∵BC=BD，

∴BF=BD+BP．